Palestras

Trigonometria sem triângulo, sem ângulo

Airton Castro (DMat/UFPE)

As funções trigonométricas têm muitas aplicações práticas e desempenham papel importante no ensino, tanto no básico como no superior; na maioria das vezes com forte vínculo com a geometria, o que é recomendável.
No ensino médio estudamos várias propriedades das funções trigonométricas, em especial do seno e do cosseno, nos cursos de Cálculos aprendemos a calcular suas derivadas: sen'x = cosx e cos'x = - sen'x.
Na palestra vamos ilustrar a força da "ferramenta" Equação Diferencial, verificaremos que o conhecimento das derivadas dessas funções é suficiente para demonstrar todas as propriedades das funções trigonométricas, entre elas:

- Relação Fundamental: cos^2 x + sen^2 x = 1;
- A função cosseno é par, a função seno é ímpar;
- Fórmulas para o seno e o cosseno da soma;
- As funções seno e cosseno são periódicas;
- O estudo dos sinais das funções seno e cosseno.

Faremos tudo isso sem desenhar um único triângulo, sem usar o círculo trigonométrico.
É ver para crer!

Saindo de Grafos e chegando em Matroides

Manoel Lemos (DMat/UFPE)

"O que é uma matroide?" É comum que me façam essa pergunta. Na palestra pretendo responder a essa questão. Apresentarei a noção de grafo, que é uma estrutura combinatória mais conhecida, enfatizando o conceito de conectividade. Abordaremos como encontrar uma árvore, que é um grafo minimamente conexo, com custo máximo através do Algoritmo Guloso. Uma matroide será definida como a maior estrutura combinatória na qual esse algoritmo funciona.

Como uma cônica degenerada pode nos ajudar a fazer a retificação métrica de uma imagem

Sílvio Melo (CIN/UFPE)

Em Visão Computacional existem alguns tipos de operações que removem deformações projetivas em imagens de câmeras. Uma delas, chamada de retificação métrica, resulta em imagens reconstituídas do ponto de vista de ângulos entre retas e razões de tamanhos de segmentos de retas. Nesta palestra abordaremos um ingrediente essencial para este tipo de retificação, que é um produto interno degenerado cuja matriz importa ser estudada como a de uma cônica no plano projetivo estendido.

Um pouco de arte na matemática

Eddygledson Gama (DMat/UFPE)

Nesta palestra vamos discutir como algumas estruturas matemáticas nos permitem construir várias estruturas fascinantes.

Aventuras com Triângulos de Poncelet

Dan Reznik (Data Science Consulting)

Faremos um overview de uma ferramenta web que criamos para o estudo de famílias de triângulos de Poncelet. Uma de suas principais funções é a visualização interativa de loci de centros de triângulo em tempo real.

Reciprocidade polar: entre princípio e método

Liliana Gheorghe (DMat/UFPE)

Reciprocidade polar (ou o método das polares recíprocas, ou a dualidade polar) foi o método ad-hoc usado por Jean-Victor Poncelet (1788–1867), a fim de provar seu famoso Porisma e sistematicamente usado em seu famoso Traité de propriétés projectives des figures, publicado em 1822. Logo após a publicação do Traité, Joseph-Diez Gergonne (1771–1859), um outro matemático da época, revindicou a paternidade do método, por ele formulado como "Principio de Dualidade." Curiosamente, a controvérsia entre Poncelet e Gergonne, que se transformou em processo judicial prorrogado e muito apimentado, teve efeitos colaterais benéficos: atraiu a atenção da comunidade matemática da época, e nas décadas sucessivas, se tornou a linguagem natural para o estudo das cônicas. Hoje em dia, o método de Poncelet caiu em esquecimento, em quanto o princípio de dualidade, com nova roupagem, migrou para outras áreas da matemática. O propósito dessa Palestra é apresentar a reciprocidade polar como método e ilustrar algumas de suas aplicações.

Sistemas caóticos e a ferradura

Ricardo Bortolotti (DMat/UFPE)

A teoria dos Sistemas Dinâmicos trata de determinar a evolução de um sistema descrito por leis matemáticas. Essa teoria tem fundamentos históricos na Mecânica Celeste e nos trabalhos primordiais de Newton, cujas leis permitem determinar a evolução do sistema a partir de uma condição inicial. Tal abordagem foi bem sucedida em várias situações, mas alguns sistemas se mostraram bastante complicados de determinar sua solução de forma explícita. Estudando alguns modelos advindos da mecânica celeste, Poincaré se deparou com sistemas verdadeiramente complicados, onde o que prevalece não é a ordem natural, e sim o caos, pois as órbitas evoluem de forma aparentemente aleatória. Mais tarde, Smale elaborou um modelo geométrico de uma dinâmica caótica, conhecido como a ferradura, tal sistema fornece uma descrição muito mais simples para uma dinâmica caótica.

Nesta palestra vamos falar um pouco mais sobre a história do sistemas dinâmicos, principalmente a busca por compreender sistemas caóticos e a ferradura de Smale.

Teoria das Distribuições

Victor Hugo (DMat/UFPE)

A Teoria das Distribuições é uma ferramenta capaz de certas ambiguidades matemáticas, particularmente, no estudo do Delta de Dirac. Além disso, as distribuições nos permitem diferenciar muitas funções cujas derivadas não existem no sentido clássico. Elas são amplamente utilizadas na teoria de equações diferenciais parciais, em que verificar a existência de uma solução é muito mais desafiadora quando se utiliza métodos clássicos. Nesta palestra, vamos discutir alguns conceitos básicos relacionados à Teoria das Distribuições e mostrar algumas de suas aplicações no estudo de Equações Diferenciais Parciais.

Mapas do Tipo Chebyshev sobre Corpos Finitos e suas Aplicações

Juliano Bandeira (Departamento de Eletrônica e Sistemas/UFPE)

Nesta palestra, serão apresentadas definições, propriedades e aplicações relativas a mapas racionais do tipo Chebyshev sobre corpos finitos. Os referidos mapas são identificados como mapas t-Chebyshev e dependem da definição de uma função tangente sobre as estruturas algébricas em questão. Dentre outros resultados novos e interessantes, é demonstrada a validade da propriedade de semi-grupo para esses mapas e dada uma condição necessária e suficiente sob a qual um desses mapas induz uma permutação no conjunto de elementos de F_q. Resultados relacionados aos grafos funcionais desses mapas são também apresentados e direções para pesquisas futuras são dadas.

O surpreendente Jogo da Vida - Autômatos Celulares

Jalila Rios (DMat/UFPE)

Em uma teoria de matemática discreta e simples, em princípio, chamada de autômatos celulares, aplicável em muitas áreas, encontramos uma dinâmica surpreendente surgindo de regras determinísticas no exemplo do Jogo da Vida. Olhar para uma representação gráfica de uma implementação computacional deste é como olhar para uma placa de cultura de bactérias: vemos células nascer, se multiplicar, mover e morrer, como se disputassem na região recursos... A partir de regras simples pré-determinadas é possível perceber em aplicações de autômatos celulares o surgimento de comportamentos periódicos, complexos, estacionários e até aparentemente caóticos.